Números Primos

Los números primos son números naturales mayores que 1 y tienen como particularidad que son divisibles solo por si mismo y la unidad y son importantes en la matemáticas no solo por naturaleza tan singular sino debido a la teoría fundamental de la aritmética que establece lo siguiente:

Todo numero entero mayor que 1 es o un numero primo o cualquier numero que puede ser expresado como la multiplicación de números primos”

Euclid’s Elements. hace mas de 2000 años. Probado por Gauss en 1801.

Algunas curiosidades de los números primos

Los números primos tiene muchos aspectos particulares que no deben ser pasados por alto:

1. Los primeros 10 números primos son 2, 3,5,7,11,13,17,19,23,29 y solo el primer numero primo(2), es un numero par y los siguientes números primos son impares.
2. Todos los números primos a excepción del 2 y el 5 siempre terminan en 1, 3, 7, o 9.
3. cualquier numero par puede expresarse como la suma de dos números primos.
4. Cualquier numero primo que no sea 2 es la diferencia de los cuadrados de dos números positivos enteros.
5. Todos los numeros primos aparte de 2 , siempre seguiran el patron de 4n+1 o 4n-1, donde n es un numero natural.
6. Hay números que parecen números primos pero no lo son. los números: 333331.3333331,33333331 son números primos, pero el numero 333333331 no lo es.
7. El numero 73939133 es un numero primo, también lo es 7393913, 739391, 73939, 7393, 739, 73 y 7.
8. Se sabe que los números primos son infinitos, pero la diferencia entre un numero primo y el siguiente en la sucesión se vuelve con frecuencia cada vez mas grande cuando el numero primo buscado es mas alto en cantidad.
9. La conjetura de los números primos gemelos, son un par de numeros primos que se diferencia por 2, Aparentemente hay infinitos numero primos gemelos los primeros pares son 3 y 5 , 5 y 7, 13 y 11, pero a medida que se busca los numeros primos mas grandes, los primos gemelos son mas raros.
10. La sucesión de los números primos tienen naturaleza aleatoria, por eso son usados en criptografia.
11. Los números primos pueden ser la base de una comunicación con sociedades avanzadas no humanas, por sus características únicas y debido a que se requiere de un conocimiento avanzado de matemáticas, suficiente para que al convertirse en señales pueda ser reconocido como un patrón inteligente.
12. Hasta ahora el numero primo mas largo conocido es: 2^82,589,933 − 1
13. Existen números primos ilegales, El siguiente numero:

…..NUMERO Primo del decodificador…...

Lo anterior es un numero ilegal, exactamente un numero primo ilegal,en realidad es un programa cualquier programa de computadora, es una colección de 0 y 1, pero que se puede representar en cualquier sistema numérico, aqui en sistema decimal, pero se realmente se usa el sistema hexadecimal para efectos de programación, el numero del link es la codificación del programa del año 2001 que corresponde a una versión comprimida de un programa escrito C que descifra contenido de DVD comerciales, lo cual es una violación y es ilegal distribuirlo en Estados Unidos. Años después se descubrió que este numero es un numero primo, y era uno de los números primos mas largos conocidos.

Siempre habrá mas curiosidades sobre los números primos, tan presenten en las matemáticas pero aun así, posee propiedades desconocidas hasta ahora.

Números primos en la historia

Seguramente en los imperios de la china antigua, babilonia, sumeria o Egipto antiguo o los mayas ya hayan notado los números primos e incluso estudiados por su peculiaridad, de hecho, hace 20000 años en el congo, se encontró un hueso datado de hace mas de 20000 años con un conjunto de números primos (11, 13, 17, 19) marcados, son todos números primos, no existe mas información al respecto, se cree que puede ser una coincidencia, pero no tiene mucho sentido esa hipótesis ya que el hueso hace énfasis en un combo de números primos que no puede atribuirse a la aleatoriedad, ya que suma 60, un numero muy usado en muchos pueblos del pasado, lo cual demuestra un entendimiento del conjunto de los números primos desde esa época. Los egipcios trabajaban frecuentemente con numero fraccionarios, la expresión 2/n, se escribía como sumas de números de la forma 1/m+1/k, donde m y k eran números que no repetían y eran números primos. Los chinos formularon una hipotesis bastante curiosa, algunos afirman que pudo haber sido hace 2000 años o en el siglo XIX, sea cual fuere el caso, la hipotesis advierte que un numero n es primo si y solo si satisface la condición de que 2ⁿ – 2 es divisible por n.

Los griegos matemáticos clásicos estudiaron extensamente los números primos y sus propiedades, La criva de Erastotenes es un algoritmo que puede calcular los números primos dentro de un rango seleccionado siguiendo unos pasos específicos. Euclides en su obra “elementos”, libro IX, probo que los números primos eran infinitos así como establecer el teorema fundamental de la aritmética,no solo eso, sino mostró que el numero 2ⁿ – 1(Números de Mersenne) es primo cuando el numero 2^n-1 (2ⁿ – 1) es un numero perfecto.

Desafortunadamente no hubo mayores avances en el estudio de los números primos en la época medieval en Europa,pero si en la civilizaciones islámica, en el Koran hay referencias a los números primos, el primer capitulo esta compuesto de 7 aleyas o versos, 29 palabras y 139 letras, todos números primos, los matemáticos musulmanes preservaron los conocimientos de los griegos en diversos temas, incluyendo números primos, por ejemplo: Ibn al-Banna logro mejorar el algoritmo de Erastotenes.

Solo hasta la llega de la época del siglo XVIII, se logro muchos avances en la teoría numérica, Fermat probo una conjetura de Albert Girard, donde cada numero de la forma 4n+1 puede ser escrito como la suma de dos cuadrados ademas de probar que cualquier numero puede ser escrito como la suma de 4 cuadrados. a partir de esa época muchas propiedades, teoremas, conjeturas o proposiciones se han creado en torno a los números primos, aun muchas proposiciones y conjeturas siguen sin revolverse, lo cual alimenta constantemente la fascinación de la humanidad con los números primos.

Números Primos Mersennes

Son números extensamente estudiados por Marin Mersennes, un fraile del siglo 17, y se caracterizan de la forma M_n=2ⁿ-1 para un entero n. Los números de esta forma ya fueron conocidos en la antigüedad en varias culturas por su relación con los números perfectos(un numero perfecto es un numero igual a la suma de sus divisores, un ejemplo es el 6, ya que es igual a la suma de sus divisores. 6=1+2+3). En el teorema de Euclides estableció que 2^p-1 es un numero primo entonces 2^{p − 1}(2^p − 1) es numero perfecto, de hecho todos los números perfectos tienen esa forma, algo ya confirmado por Euler, por eso el teorema se conoce como el teorema Euler-Euclides. Es un misterio la existencia de algún numero perfecto impar.

En matemática ya tenemos a los números primos(Números con dos divisores, el 1 y el mismo numero) y a los números compuestos(Números que poseen mas de dos divisores. Ejemplo: 14 es un numero compuesto porque tiene tres divisores: 7, 2, 1). Si aplicamos n para M_n=2ⁿ-1, obtendríamos todos los números de Mersennes posibles, primos o compuestos , pero lo importante son los números primos de Mersennes,. En ese caso existen dos condiciones para ser números primos de Mersennes:

1. Para M_n=2ⁿ-1, n debe ser un si o si un numero primo.
2. M_n Debe ser un numero primo también.

Con esas condiciones se reduce considerable el conjunto de números primos de Mersennes:

Varias conjeturas con Números Primos

1. Conjetura de los números gemelos primos: Hay infinitamente muchos pares de números primos de la forma p y p+2, donde p es un numero primo.

2. Conjetura de Goldbach: Cada numero positivo mayor que 2 puede escribirse como la suma de dos números primos.

3. Conjetura n²+1: Existen números primos infinitos de la forma n²+1, donde n es un numero positivo entero.

4. Conjetura Polignac: Por cada numero par 2n existen infinitos pares de números consecutivo que difieren por 2n.

5. Conjetura Opperman: Siempre existirá un numero primo entre n² y (n+1)²

6. Conjetura de Waring: Todo numero entero impar que exceda de 3 es un numero primo o la sumad e tres numero primos.

7. Conjetura de Andrica: Tiene que ver con la diferencia de los números primos, la siguiente inecuación representa la conjetura:

√(p_n+1) – √(p_n) < 1

La diferencia aritmética de la raíz cuadrada de un numero primo menos la raíz cuadrada de otro numero primo que le antecede es siempre menor que 1.