Tanto máximo común divisor como mínimo común múltiplo son operaciones esenciales y sumamente importantes en las matemáticas, sin ellas las operaciones matemáticas serian una labor bastante tediosa y posiblemente mas complicado de hacer, la razón es que ambas operaciones son usadas en la simplificación de fracciones y el calculo de números comunes con respecto a un grupo mas grande de números.
Numeros Primos
Es importante hacer referencia a los números primos, y la razón es que se van a utilizar para las operaciones tanto en el calculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, ya que presenta ciertas ventajas operativas con respecto a otros métodos, es importantes destacar que los números primos es una secuencia especifica de números, empezando desde el 2 hasta el infinito, un numero primo es aquel numero que se divide solo por si mismo y por la unidad(1). los primeros números primos entre el y 100 son los mostrados en la tabla de la imagen inicial del presente articulo, resaltados en color rojo. 2, 3, 5, 7, 11, 13,17…
Máximo Común Divisor
A partir de un grupo de números, el máximo común divisor es un numero especifico de mayor valor posible que tiene la particularidad de poder dividir a todos los números de ese grupo. Puede haber varias maneras de obtener el máximo común divisor de un grupo de números, sin embargo, es propicio utilizar el método los números primos, ya que se puede utilizar prácticamente el mismo método con el mínimo con un múltiplo, lo que hace conveniente a la larga. Y para también de alguna forma, hacer referencia al teorema fundamental de la aritmética, esta establece que cualquier numero puede expresarse como la multiplicación de factores primos, lo que garantiza la efectividad del método de los números primos.
Para poder aplicar el método de los números primos es necesario saber descomponer el numero como una multiplicación de factores primos, básicamente lo que estamos haciendo es simplemente aplicando el teorema de la aritmética mediante divisiones sucesivas y usando la secuencia de numero primos(2,3,5,7,11,13,…) como divisores cada vez que hacemos las divisiones sucesivas, por ejemplo:
Descomponer el numero 8316 en factores primos:
8316 | 2
4158 | 2
2079 | 3
693 | 3
231 | 3
77 | 7
11 | 11
1
8316 = 2*2*3*3*3*7*11 = 2² * 3³ * 11
8316 = 2² * 3³ * 11
Teniendo en cuenta lo anterior, podemos proceder a obtener el máximo común divisor de cualquier grupo de números:
Ejemplo 2: Obtener el máximo común divisor de 60 y 160
claramente hay que descomponer cada numero en sus factores primos por separado:
| 60 | 2 30 | 2 15 | 3 5 | 5 1 60 = 2² * 3 * 5 | 160 | 2 80 | 2 40 | 2 20 | 2 10 | 2 5 | 5 1 160 = 2⁵ * 5 |
Teniendo los números descompuestos, procedemos a obtener el máximo común divisor(MCD), la misma esta compuesta por los factores comunes con su menor exponente, tanto el 2 como 5 esta presente en los dos números y el menor exponente es 2², entonces:
MCD(60,160) = 2²*5 = 20
MCD(60,160) = 20
Mínimo Común Múltiplo
Teniendo en claro los números primos y las divisiones sucesivas mediante números primos, el mínimo común múltiplo (mcm) es una operación cuyo resultado es la descomposición en factores primos de cada numero, de manera que el mcm es la multiplicación de factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo: Obtener el mínimo común múltiplo de 210, 360, 548
| 210 | 2 105 | 3 35 | 5 7 | 7 1 210 = 2*3*5*7 | 360|2 180|2 90|2 45|3 15|3 5|5 1 360 = 2³ * 3² * 5 | 548 | 2 274 | 2 137 | 137 1 548 = 2² * 3 * 137 |
Teniendo los números en sus factores comunes, obtenemos el mcm de 210, 360, 548, teniendo presente que es la multiplicación de factores comunes y no comunes con su mayor exponente:
mcm(210,360,548) = 2³ * 3² * 5 * 7 *137 = 345240
mcm(210,360,548) = 345240
Claramente, es necesario un articulo con ejercicios , pero sera para próxima.
